{"id":9324,"date":"2018-02-01T10:12:54","date_gmt":"2018-02-01T09:12:54","guid":{"rendered":"http:\/\/doncomos.com\/educar\/?p=9324"},"modified":"2018-02-21T19:05:56","modified_gmt":"2018-02-21T18:05:56","slug":"ejercicios-problemas-derivadas-aprende-derivadas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/doncomos.com\/educar\/ejercicios-problemas-derivadas-aprende-derivadas","title":{"rendered":"Ejercicios y Problemas de Derivadas &#8211; Aprende las Derivadas"},"content":{"rendered":"<div id=\"toc_container\" class=\"no_bullets\"><p class=\"toc_title\">Contenido del Art&iacute;culo<\/p><ul class=\"toc_list\"><li><a href=\"#Explicacion_de_la_Tabla_de_derivacion\">Explicaci\u00f3n de la Tabla de derivaci\u00f3n.<\/a><\/li><li><a href=\"#Operaciones_con_derivadas_D_Derivada\">Operaciones con derivadas: (D= Derivada)<\/a><\/li><li><a href=\"#Propiedades_de_las_funciones\">Propiedades de las funciones.<\/a><\/li><li><a href=\"#Ejercicios_y_Problemas\">Ejercicios y Problemas<\/a><ul><li><ul><li><ul><li><a href=\"#Y_0_-1_x_0_y_-x\">Y \u2013 0 = -1 (x \u2013 0) = y = -x.<\/a><\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/li><li><a href=\"#Recta_normal_y-f0_-1_fx_0_x_-0\">Recta normal: y-f(0)=\u00a0 \u00a0 -1 \/ fx (0) * (x\u00a0 -0)<\/a><\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/div>\n<p>Lo primero que hay que entender, para poder realizar la derivada de una funci\u00f3n, es el significado de la misma.<strong> En t\u00e9rminos generales, una funci\u00f3n se puede representar como una m\u00e1quina, en la cual, existen unas inc\u00f3gnitas, que dependiendo del valor que le introduzcamos, nos dar\u00e1 otro valor, c\u00f3mo, por ejemplo:<\/strong><\/p>\n<p>F(x)= x^2<\/p>\n<ul>\n<li>Si sustituimos x=1, nos devolver\u00e1, como valor y=1,<\/li>\n<li>si introducimos x=4, nos devolver\u00e1 y= 16 y viceversa.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Todos esos valores se representan en una gr\u00e1fica, que est\u00e1 compuesto por el eje de ordenadas (Y), y el eje de abscisas, (X). Una vez entendido esto, podemos entender m\u00e1s f\u00e1cilmente la definici\u00f3n de una derivada.<\/strong><\/p>\n<blockquote><p><strong>Podemos definir la derivada de una funci\u00f3n como: La pendiente de la recta tangente en un punto exacto de la gr\u00e1fica, es decir, el estudio de la variaci\u00f3n de la gr\u00e1fica, en cada uno de sus puntos exactos.<\/strong><\/p><\/blockquote>\n<p>Una vez entendido todo lo anterior, hay que conocer los pasos a seguir, para cada uno de los casos existentes, en los cuales se pueden aplicar las derivadas.<\/p>\n<p>Para calcular la inclinaci\u00f3n de una curva, bastar\u00eda con usar algunas t\u00e9cnicas de dibujo. Por ejemplo en la la curva que hace este dibujo [Curva \u00abC\u00bb].\u00a0Es una l\u00ednea dibujada en un diagrama muy popular, conocido como \u00absistema de coordenadas cartesianas\u00bb, donde el eje horizontal se llama \u00ababscisa\u00bb y el eje vertical se llama \u00abordenada\u00bb. Si utilizamos un sistema cartesiano para pintar nuestra curva, tendremos m\u00e1s facilidades para calcular, el lugar concreto de cada punto de la l\u00ednea curva.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-9325 size-full\" src=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/11\/Borrador-autom\u00e1tico-129.jpg\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"817\" srcset=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/11\/Borrador-autom\u00e1tico-129.jpg 640w, https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/11\/Borrador-autom\u00e1tico-129-235x300.jpg 235w, https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/11\/Borrador-autom\u00e1tico-129-157x200.jpg 157w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<h2><span id=\"Explicacion_de_la_Tabla_de_derivacion\">Explicaci\u00f3n de la Tabla de derivaci\u00f3n.<\/span><\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Derivada de una constante es 0, y la funci\u00f3n identidad es 1.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Derivada de una funci\u00f3n potencial con n perteneciente a los reales.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de una funci\u00f3n potencial simple, es igual al exponente multiplicado por su base menos una uno.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de una funci\u00f3n irracional simple, 1 partido por el \u00edndice de la ra\u00edz, por la propia ra\u00edz, con radicando n-1.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de una fracci\u00f3n irracional simples, es igual a la expresi\u00f3n inversa del producto del \u00edndice, por la ra\u00edz del mismo \u00edndice, de la potencia n-1 del radicando x.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de una funci\u00f3n exponencial, es igual a la misma funci\u00f3n, por el logaritmo neperiano de su base.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de una funci\u00f3n logar\u00edtmica, es igual 1, dividido por el producto de la inc\u00f3gnita, de la funci\u00f3n logar\u00edtmica, por el logaritmo neperiano de su base.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de la funci\u00f3n exponencial potencial, es igual a la suma de las derivadas, de una funci\u00f3n exponencial, y de una funci\u00f3n potencial.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada del seno x, siempre es el coseno x.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada del coseno, es el \u2013 seno.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de la funci\u00f3n tangente, es igual a 1, m\u00e1s el cuadrado de la tangente.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de la funci\u00f3n arco seno, es igual a 1 dividido por la ra\u00edz cuadrada de 1 \u2013 x al cuadrado.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La derivada de la funci\u00f3n arco coseno, es igual a la derivada de la funci\u00f3n arco seno, pero negada.<\/strong><\/li>\n<li><strong>La funci\u00f3n arco tangente, es igual a 1 por 1 m\u00e1s x al cuadrado.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Para las funciones compuestas, se podr\u00edan resumir como, los pasos citados anteriormente, multiplicados por la derivada de la funci\u00f3n que la contiene.<\/p>\n<p>Es importante estudiarse esta tabla, para poder aplicar el uso de las derivadas, dependiendo del tipo de funci\u00f3n que tengamos. Si no saben las\u00a0 f\u00f3rmulas de cada derivada no se va a poder hacer ning\u00fan tipo de ejercicio o problema que las contenga. En el caso de que no se sepan de memoria, es recomendable que se imprima la tabla.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-9331\" src=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-754-300x179.jpg\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"381\" srcset=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-754-300x179.jpg 300w, https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-754-270x161.jpg 270w, https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-754.jpg 378w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<h2><span id=\"Operaciones_con_derivadas_D_Derivada\">Operaciones con derivadas: (D= Derivada)<\/span><\/h2>\n<ol>\n<li><strong>Suma<\/strong>: D(f(x) + g (x)): D (f(x)) +D (g(x)) o tambi\u00e9n dicho la suma de dos funciones es igual a la suma particular de cada funci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Resta:<\/strong>\u00a0D(f(x) &#8211; g (x)) =: D (f(x)) -D (g(x)) para resumir f\u00e1cilmente la <a href=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/restar\">resta<\/a> de dos funciones es lo mismo que realizar la resta particular de cada una de las funciones.<\/li>\n<li><strong>Multiplicaci\u00f3n de funciones<\/strong>: D(f(x)*g(x)) =: D (f(x)) * g(x) + f(x) * D g(x) es decir, para realizar la derivada de una multiplicaci\u00f3n se debe derivar la primera funci\u00f3n y multiplicarla por la segunda sin derivar sumada por la primera funci\u00f3n sin derivar multiplicada por la segunda funci\u00f3n derivada.<\/li>\n<li><strong><a href=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/como-ensenar-dividir\">Divisi\u00f3n<\/a> de funciones<\/strong>: (D (f(x)) * g(x) &#8211; f(x) * D g(x)) g(x)^2.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Dicho de otro modo, se debe realizar la derivada de la primera funci\u00f3n por la segunda funci\u00f3n sin derivar restada por la primera funci\u00f3n sin derivar multiplicada por la segunda funci\u00f3n derivada y todo ello dividido por la segunda funci\u00f3n elevada al cuadrado.<\/p>\n<h2><span id=\"Propiedades_de_las_funciones\">Propiedades de las funciones.<\/span><\/h2>\n<ol>\n<li><strong>Multiplicaci\u00f3n de una constante K por una funci\u00f3n<\/strong>: D (K*f(x)) = K* D (f(x))<\/li>\n<li><strong>Regla de la cadena<\/strong>: D (f(g(x)) = D (f(g(x)) * D (g(x)) (Se basa simplemente en derivar la primera funci\u00f3n y por consiguiente multiplicarla por la funci\u00f3n que la compone)<\/li>\n<\/ol>\n<p>Aprendida y entendida la teor\u00eda b\u00e1sica para el entendimiento y c\u00e1lculo de las derivadas, pasaremos a realizar algunos ejercicios sencillos para su mejor comprensi\u00f3n a la hora de la practica:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-9332\" src=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-704-300x196.png\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"418\" srcset=\"https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-704-300x196.png 300w, https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-704-320x210.png 320w, https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-704-270x176.png 270w, https:\/\/doncomos.com\/educar\/wp-content\/uploads\/sites\/7\/2017\/12\/Ejercicios-y-Problemas-de-Derivadas-8211-Aprende-las-Derivadas-704.png 489w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<h2><span id=\"Ejercicios_y_Problemas\">Ejercicios y Problemas<\/span><\/h2>\n<p><strong>Ejercicio n\u00famero 1:<\/strong><\/p>\n<p>D [e- \u00b2\u00d7] = e &#8211;\u00a0\u00b2\u00d7 * -2.<\/p>\n<p>Explicaci\u00f3n: Esta funci\u00f3n es de tipo exponencial compuesta, por lo que debemos dejar la misma funci\u00f3n, multiplicada por la derivada de la funci\u00f3n que tiene en su \u00edndice, que es menos dos, ya que la derivada de una funci\u00f3n identidad es uno. Por lo tanto, menos dos por uno es menos dos.<\/p>\n<p>D [ Ln ( 3\u00d7\u00b2) * ( 5\u00d7\u00b3 -7)\u00b3] =\u00a0 D [ Ln ( 3\u00d7\u00b2)] + D [3Ln( 5\u00d7\u00b3 -7)] = 6x\/ 3\u00d7\u00b2 + 3 * 15\u00d7\u00b2 \/ 5\u00d7\u00b3 -7 = 2 \/ x + 45\u00a0\u00d7\u00b2 \/ 5\u00d7\u00b3 -7 =<\/p>\n<p>10\u00d7\u00b3 &#8211; 14 + 45\u00d7\u00b3 \/ x (5\u00d7\u00b3 -7 )= 55\u00d7\u00b3 &#8211; 14 \/\u00a0x (5\u00d7\u00b3 -7 )<\/p>\n<p>\/ = La barra de la fracci\u00f3n, no es una divisi\u00f3n.<\/p>\n<p>Explicaci\u00f3n: Antes de realizar este ejercicio, se debe tener algunos conocimientos b\u00e1sicos, sobre las propiedades de los logaritmos:<\/p>\n<ul>\n<li>La multiplicaci\u00f3n de logaritmos D [ Ln ( 3\u00d7\u00b2) * ( 5\u00d7\u00b3 -7)\u00b3]\u00a0 \u00a0es igual a la suma de las dos funciones que la contienen.<\/li>\n<li>. D[ Ln (3\u00d7\u00b2)] + D [3Ln( 5\u00d7\u00b3 -7)]<\/li>\n<li>La divisi\u00f3n de logaritmos\u00a0 D [ Ln ( 3\u00d7\u00b2 )\/ (5\u00d7\u00b3 &#8211; 7 )\u00b3)] es igual a la resta de las dos funciones que la contienen.<\/li>\n<li>D[ Ln (3\u00d7\u00b2)] &#8211; D [3Ln( 5\u00d7\u00b3 -7)]<\/li>\n<li>Cualquier logaritmo de exponente\u201d x\u201d , por ejemplo , In (5\u00d7\u00b3 -7)\u00a0\u00b3 es igual al propio exponente , multiplicado por el logaritmo . 3 Ln ( 5\u00d7\u00b3 -7)<\/li>\n<li>El logaritmo de 0, no existe, y el logaritmo de 1 es 0.<\/li>\n<li>El logaritmo en base de a de a, es igual a 1.<\/li>\n<li>El logaritmo en base de n de a elevado a n, es igual a n.<\/li>\n<li>El logaritmo de los n\u00fameros negativos no existe, ya que el dominio de una funci\u00f3n logaritmo, est\u00e1 comprendido para las x &gt; 0.<\/li>\n<li>Una vez conocidas estas reglas, se opera las fracciones resultantes, de hacer las derivadas de los logaritmos de cada una de las funciones, y simplificamos el resultado obteniendo: . 60\u00a0\u00d7\u00b3 -14 \/ x ( 5\u00d7\u00b3 -7).<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Ejemplo n\u00famero 2<\/strong>:<\/p>\n<p>D [sen ( 2x) +\u00a0 cos (\u00d7\u00b2)] = cos (2x )* 2 &#8211; sen (\u00d7\u00b2) * 2x.<\/p>\n<p>Explicaci\u00f3n: La derivada de una suma como se ha explicado anteriormente se realiza, a trav\u00e9s de las derivadas parciales de las funciones que se est\u00e1n sumando. Empezaremos derivando sen ( 2x)\u00a0 , que como sabemos al ser una funci\u00f3n compuesta de una funci\u00f3n seno, nos dar\u00e1 como resultado, por la derivada de la funci\u00f3n que contiene 2x, obteniendo 2, ya que estamos realizando la derivada de una funci\u00f3n identidad. Despu\u00e9s pasaremos a derivar cos (\u00d7\u00b2), que como sabemos, la derivada de una funci\u00f3n compuesta de un coseno, es igual a &#8211; sen (\u00d7\u00b2) , por la funci\u00f3n que contiene, que en este caso nos encontramos con una funci\u00f3n potencial, obteniendo as\u00ed 2x cos (2x) * 2- sen (\u00d7\u00b2) * 2x.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo n\u00famero 3:<\/strong><\/p>\n<p>\/ = La barra de la fracci\u00f3n, no es una divisi\u00f3n.<\/p>\n<p>D (arc tc 2x) = 2x * In 2 \/ 1 + 2\u00b2 x<\/p>\n<p>Explicaci\u00f3n: Debido a que se trata de una funci\u00f3n compuesta de una funci\u00f3n arco tangente, atendiendo a la f\u00f3rmula de la derivada de la arco tangente, se obtendr\u00eda\u00a0 1 \/ 1 + 2\u00b2 x\u00a0 multiplicado por la derivada de la funci\u00f3n que la contiene, trat\u00e1ndose de una funci\u00f3n exponencial\u00a0 .2x * In2<\/p>\n<p><strong>Problema n\u00famero 1:<\/strong><\/p>\n<p>Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = 2\u00d7\u00b3\u00a0+ x en el origen de coordenadas.<\/p>\n<p>F (x) =\u00a0+2\u00d7\u00b3 x.<\/p>\n<ul>\n<li>La ecuaci\u00f3n de la recta tangente es : y \u2013y1 = m ( x \u2013\u00d71\u00a0 ).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Explicaci\u00f3n: Debido a que el problema pide, las ecuaciones de las rectas situadas en el origen de coordenadas, el valor de x = 0, por lo tanto, sustituiremos f (x) por f (0), obteniendo como valor 0. Una vez realizado este paso, se deber\u00e1 operar la derivada de f (0) que es 6 * 0\u00b2 + 1 = 1.<\/p>\n<p>Recta tangente: y \u2013 f(0) = f\u00b4(0) * (x-0) = f\u00b4(x) =6\u00d7\u00b2\u00a0 + 1 = f\u00b4(0) =1<\/p>\n<p>Y \u2013 0 = 1 (x-0) = y=x.<\/p>\n<ul>\n<li>La ecuaci\u00f3n de la recta normal es: y1 \u2013 = 1\/D y1\u00a0 ( x \u2013x1\u00a0 ).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Explicaci\u00f3n: Como se ha explicado anteriormente, se seguir\u00e1n los mismos pasos, excepto por la pendiente m, que es lo que nosotros se\u00f1alamos como -1 \/ f\u00b4 (0)\u00a0 , operando como hemos hecho anteriormente, obtendr\u00edamos como resultado:<\/p>\n<h5><span id=\"Y_0_-1_x_0_y_-x\">Y \u2013 0 = -1 (x \u2013 0) = y = -x.<\/span><\/h5>\n<h3><span id=\"Recta_normal_y-f0_-1_fx_0_x_-0\">Recta normal: y-f(0)=\u00a0 \u00a0 -1 \/ fx (0) * (x\u00a0 -0)<\/span><\/h3>\n<p>\/ = La barra de la fracci\u00f3n, no es una divisi\u00f3n.<\/p>\n<p><strong>Problema n\u00famero 2<\/strong><\/p>\n<p>Halla los valores de a y b para los cuales la recta tangente a la curva y=\u00d7\u00b2 \u00a0+ a x + b en el punto P (3,0) tenga de pendiente 2.<\/p>\n<p>La gr\u00e1fica de la curva dada, pasa por el punto P (3,0) = 0 =9 +3a+b.<\/p>\n<p>Debido a que nos dan los puntos, x= 3 e y= 0, deberemos sustituirlos en la funci\u00f3n dada, obteniendo como resultado el indicado abajo, y adem\u00e1s realizaremos a la derivada de la misma, para poder as\u00ed, hallar el valor de a, y por consiguiente el valor de b:<\/p>\n<p>F\u00b4 (3) = 2 = como f\u00b4(x) =2x + a = f\u00b4 (3) = 6 + a = 6 + a= 2 = a = -4<\/p>\n<p>Por lo tanto, a = -4 Y b =-9 \u2013 3\u00aa = 3 =\u00a0\u00a0 a= -4 y b =3<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Contenido del Art&iacute;culoExplicaci\u00f3n de la Tabla de derivaci\u00f3n.Operaciones con derivadas: (D= Derivada)Propiedades de las funciones.Ejercicios y ProblemasY \u2013 0 = -1 (x \u2013 0) = y = -x.Recta normal: y-f(0)=\u00a0 \u00a0 -1 \/ fx (0) * (x\u00a0 -0) Lo primero [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":65,"featured_media":9325,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1089],"tags":[523],"class_list":["post-9324","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-matematicas-formacion","tag-matematicas"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v19.6 - 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