Varianza y Desviación Estándar – Cómo calcular y fórmula

La varianza  y  la  desviación típica, o estándar son  dos  conceptos que  si los mostramos  por sí solos pueden resultar extraños, sin embargo, cuando nos detenemos  a pensar, dentro de nuestra rutina hacemos  referencia  a  ellos  con una  frecuencia  asombrosa, sólo que  no  nos damos cuenta.

¿Qué utilidad tienen para mi vida estos conceptos?

Es cierto  que  la cotidianeidad  actual fluye tan rápido que  apenas  nos  da  tiempo  a relajarnos  y pensar en  nosotros mismos, por eso  le proponemos  un pequeño experimento, para  que  usted compruebe cuantas  veces al día  recibe ese concepto sin notarlo.

Siéntese  en  su casa y por muy tonto que  le  parezca, haga un  resumen en su  mente  de todo lo que hizo en el día. Para que  nos  entienda mejor pongamos  un ejemplo:

Usted  se levanta y  mientras se prepara  para  ir al trabajo enciende la tele. Si la pone en el canal de  las noticias  es muy  probable  que  mientras  desayuna escuche la frase “se pronostica que para el próximo…período, año, elecciones” al  menos  cinco  veces.  Sepa  usted que  cada una  de estas  frases, por muy breves que  le parezcan, llevan  un  análisis estadístico que  implica, por supuesto, un cálculo de varianza y desviación. Pero sigamos con su día, que a partir de ahora se pondrá mucho  más interesante.

¿Utilidad en el trabajo?

Cuando llega  a su trabajo tiene  en la mesa entre dos y cuatro informes que  deberá  revisar para entregarlos a  su jefe, los informes proponen estrategias  económicas y comerciales que tienen solo un objetivo, elevar los ingresos.

Usted deberá, una  vez revisados los documentos, proponer a  su superior la estrategia que considera óptima. Deberá  además  estar preparado para las interrogantes, por lo que debe saber bien cómo memorizar estos informes para no quedar mal. El  jefe por su parte, rebatirá con distintos argumentos la propuesta que  usted le expone, ahora, que tal si su jefe le pregunta, ¿Cómo sabe usted que  esta propuesta  es o no acertada?

La respuesta  a todas  estas  interrogantes se resume en dos simples palabras, varianza y desviación, y ya  que  usted  ha entendido cuan importantes son en su vida, le proponemos una breve  explicación de  cómo calcularlas.

¿Qué  es la  varianza y cómo se calcula?

La  varianza mide la dispersión dentro de un conjunto de datos. Si el valor de la varianza es pequeño, significa que los valores del conjunto están bastante agrupados. Si por el contrario, el resultado de la varianza es mayor, quiere decir que los elementos dentro del conjunto que se  analiza están dispersos.

La varianza  se representa con la letra griega Sigma (σ) elevada al cuadrado, o sea  (σ²), y  se calcula según  representa la fórmula:

σ²=  Σ (Xi-µ)²

          n

O lo que  es lo mismo

σ²=  (Xi-µ)²+ (Xi-µ)²+ (Xi-µ)²+…………(Xn-µ)²

                               n

Dado el nivel de abstracción que implica el concepto de varianza, así como la  dificultad para  su comprensión, la  varianza generalmente  se calcula como punto de partida para conocer y cuantificar la desviación estándar.

Para una  mejor interpretación de los  conceptos que  hoy tratamos, pondremos un ejemplo práctico, situacional, donde de conjunto  calcularemos varianza  y  desviación estándar. Es nuestro objetivo que  usted, una vez que  haya leído este  documento, tenga la  claridad que  necesita para interpretar los conceptos que tan frecuentes  resultan en  nuestra rutina.

¿Qué es la desviación estándar?

Ya  tenemos  claro que «la varianza  es una  medida de  dispersión que  calcula las desviaciones  respecto a  la  media de una distribución estadística,  o lo que  es lo mismo, un conjunto de datos». Ahora  definamos  a  la  desviación  estándar, esta representa la magnitud de la dispersión de las variables dentro de un intervalo de razón. Para su cálculo partimos de la varianza y calculamos su raíz cuadrada.

¿Cómo distinguir la  varianza de la desviación estándar?

Aunque  ambas son medidas  de dispersión y sus definiciones  son similares, existen varios aspectos que nos ayudarán a distinguir la varianza de  la desviación  estándar. Es importante  destacar que   la  desviación típica mide la dispersión de un conjunto  de datos, mientras  que  la varianza mide la  variabilidad de  esta  dispersión.

A continuación le enumeramos  tres  formas  rápidas  para identificar cuando  estamos en presencia  de uno u otro indicador.

1. La varianza se  mide  en unidades al cuadrado y por tanto su resultado siempre  tendrá valor positivo.
2. El valor mínimo que alcanza la  varianza  es = 0
3. La varianza no es más  que  la  desviación típica elevada  al cuadrado, y por tanto, la desviación típica  se resume  como  la  raíz cuadrada de la varianza.

Dos métodos sencillos para  calcular  la varianza

Existen varios métodos  para calcular la  varianza, la  diferencia entre ellos  se basa fundamentalmente  en el  tamaño del grupo  seleccionado para  el estudio.

1. Si el  grupo  a  estudiar  es pequeño o  mediano, la recopilación de los  datos será  algo trabajosa, pero realizable, por lo que  se  tomará en su  totalidad  y  se  calculará  la varianza  del  conjunto en general, a  esto  se le  conoce como  la  varianza  de la población.
2. Si de  otra  manera, el  grupo o universo a estudiar  es muy grande, se  tomará  un segmento de  datos que   se  considere  representativo. Este  grupo seleccionado para  nuestro estudio es conocido en la  estadística  con el nombre  de Muestra,  y el  método  de cálculo en este caso  será el cálculo  de la  varianza muestral o varianza de la muestra.

Un ejemplo práctico

Pondremos  un  ejemplo práctico para reflejar cada uno de los  métodos, comenzaremos  por  el cálculo de  la varianza  de una población. Enumeraremos  el procedimiento con pasos  a  seguir esperando con ello una  mayor  comprensión.

Cómo  calcular  la  varianza  de  una población

1. Seleccionar  el conjunto de  datos

El primer paso consiste en seleccionar  el conjunto de  datos, como  los  vamos   a  analizar todos este método se sugiere  cuando  el  grupo  es pequeño. Por  ejemplo,  si en  un aula estudian exactamente  12  alumnos, podemos  hacer  un análisis de  las  edades de ellos. Para ello se sabe  que  las edades de los  niños son: 4,5,5,4,3,4,5,6,6,5,4,4

 2. Plantea la fórmula  de  la varianza  de la población

Una  característica de la  varianza de la población es que el  resultado es  exacto, pues se han analizado la  totalidad  de  los datos.

Para  el cálculo de la  varianza de la  población  la  fórmula  será:

σ²=  Σ(Xi-µ)²

         n

Donde:

σ² representa  la varianza.

 Xi representa  cada uno de los valores y  µ la media  o  el promedio de los datos.

n representa  la cantidad de  datos.

3.  Calcule la  media  de  la población

La  media  aritmética no  es más  que  el promedio, el cual se calcula sumando todos los  datos y dividiéndolos entre  la  cantidad de  datos, para  el ejemplo que  pretendemos  recrear  el resultado de  la  media  quedaría  de la  siguiente  manera:

µ=4+5+5+4+3+4+5+6+6+5+4+4= 55

Entonces:

µ=55:12=4,58

La  media  de las  edades  de los niños  será igual a 5,5

4. Resta el valor de la  media  a  cada uno de los  datos.

Si conocemos que  µ=5,5  nuestros  resultados  serán

4- 4,58= -0,58

5-4,58= 0.42

5-4,58=  0,42

Y así sucesivamente  hasta  haber  restado la media  a las  doce  edades  de los niños.

5. Eleve al cuadrado todas  las respuestas.

Asimismo  como  en el  paso anterior ahora  tomará los  resultados  y los  elevará  al cuadrado. Siguiendo nuestro ejemplo el cálculo quedará como sigue:

-0,58²= 0,3364

0,42²= 0,1764

0,42²= 0,1764

Y nuevamente tendrá  que  seguir  este  paso con  cada  uno de los  doce  resultados. Note, que  ahora  todos los números  se convierten  en positivos.

6. Vuelve a  calcular  la  media.

Calcularemos  la  media  ahora  de los  valores elevados  al cuadrado, lo que  nos  llevará   al resultado final, o  sea, la  varianza.

Para  nuestro ejemplo el  cálculo quedaría de la siguiente forma:

0.3364+0.1764+0.1764+……0.3364= 8,5804

8,9168:12= 0,743

La varianza  de la población  será,  igual a 0,743

A partir  de este  dato resulta  muy fácil  obtener  la  desviación estándar, pues basta  con hallar la raíz cuadrada de 0,743,  que  en  nuestro caso tendría  un valor de 0.86197448

Cálculo de la  varianza  de una  muestra

Este  método se  utiliza cuando la  cantidad  de  datos  que  deben  considerarse es en extremo numerosa, entonces  se  selecciona  una  muestra y se  trabaja con ella. Esto, a  pesar de  no  arrojar  un  resultado  tan exacto  como la varianza poblacional, se  considera un método muy efectivo. En nuestro caso  continuaremos  con el ejemplo anterior,  para  que  usted pueda comparar luego, un método con el otro.

1 .Selección de la muestra

Tomando  en  cuenta  nuestro ejemplo seleccionaremos  una  muestra  de seis niños, que  equivalen a la  mitad  de  la población. Ahora  nuestros  datos  serán los siguientes

4, 5, 5, 4, 3,4

2. Plantea la  fórmula  de  la  varianza

Ahora  la fórmula  de la varianza  es ligeramente diferente debido  a  que  estamos analizando una muestra.

σ²=  Σ (Xi-µ)²

       n-1

3. Calcule la media  de la  muestra

Tal y  como  en el  ejemplo anterior la  media  es el resultado del promedio, asimismo los  pasos son 4, 5 y 6 son similares, por lo  que  los representaremos en una  tabla, en aras  no hacer  tan extenso nuestro artículo. Para  nuestra  muestra la  media  se calculará  como sigue:

4+5+5+4+3+4=25

25:6=4.16666667

Los pasos  que  siguen consisten en  restar la media  a  cada valor,  luego  elevar el  resultado al cuadrado y luego sumar  estos  resultados, tal y  como se mostró  en el ejemplo anterior. La tabla que  se muestra  a continuación resume  cada uno de los pasos.