Regla de Ruffini – Todo lo que has de saber

Paolo Ruffini matemático y médico italiano nacido en 1765 y fallecido en 1822, creador de La Regla de Ruffini diseñó este método para realizar el cálculo divisorio entre un polinomio entre un binomio, obtener la resolución de ecuaciones de tercer grado, cuarto grado y quinto grado, calcular raíces de polinomios de grado 3 en adelante y la factorización de polinomios de tercer grado o mayor.

Comencemos con algunos conceptos que nos llevaran progresivamente a comprender todo lo referente a la Regla de Ruffini.

¿Qué son los polinomios?

1. Los polinomios son expresiones matemáticas conformadas por números enteros y fracciones que representan la constantes, variables que suelen ser representadas con las letras “X”, “Y” o “Z” y exponentes (solo números enteros positivos). Deben estar formados por términos finitos que pueden incluir uno o más de tres elementos anteriormente mencionados (constantes, variables y exponentes) y dentro de la expresión están separados por operaciones de sumas y restas. Para realizar operaciones con polinomios estos deben ser simplificados de manera en que los términos que lo conformen estén agrupados con sus mismas variables y constantes. Obsérvese el siguiente polinomio. Ejemplo N° 1: 5x + 4y + 4xy + 3y +1; Se identifican los términos X, Y, XY y 1, teniéndose que agrupar términos iguales simplificando la expresión: 5x = 5x; 4y + 3y = 7y ; 4xy = 4xy ; 1 = 1. NOTA: Debe tenerse cuidado a cuando en la agrupación de términos iguales, existan términos con diferentes signos y se realice la adición para simplificar. Quedando entonces el polinomio totalmente agrupado en términos semejantes: 5x + 7y + 4xy + 1; Veamos otro ejemplo esta vez con términos semejantes pero con signos contrarios: 27x + 12y – 31x – 7y + 6x + 8 – 2 – 3; Separamos todos los términos y los sumamos por separado: Términos X: 27 + 6 – 31 = 2x; Términos Y: 12 – 7 = 5y; Términos constantes: 8 – 2 – 3 = 3. Finalmente luego de separar y sumar todos los términos semejantes los organizamos nuevamente: 2x + 5y + 3.
2. Tipos de Polinomios: Primero vamos a detallar la estructura de la expresión mínima de un polinomio que es el monomio: Un monomio está formado por 3 partes: El coeficiente: que viene dado por un valor numérico que multiplica al siguiente elemento del monomio; Valor literal: letra representativa de una cantidad; El Exponente: representa el valor de las veces que el coeficiente y el valor literal deben multiplicarse por sí mismos para encontrar el valor real monomio. Ejemplo N° 2: 6×3. En donde: El coeficiente es el número “6”. El valor literal es la letra “X”. El exponente el número “3” también llamado, índice o potencia, que para valores con exponente “2” se suele llamar “Al cuadrado” e indica que se debe multiplicar la base 2 veces por sí misma, valores con exponente “3” se pueden llamar “Al Cubo” que implica multiplicar la base 3 veces por su mismo valor. En el ejemplo N° 1 nos podemos fijar que el polinomio estudiado quedo formado por 4 términos, la cantidad de términos presentes en la expresión nos determinara el tipo de polinomio que estamos trabajando: Polinomios formados por un término: Monomios. 7xy; Polinomios conformados por dos términos: Binomio. 7xy – 5y; Polinomios formados por tres términos: trinomios. 7xy – 5y + 4; Podemos concluir que un polinomio es la expresión matemática formada por 3 o más términos.
3. Grados de un polinomio: Las ecuaciones de polinomios están conformadas por monomios, binomios, trinomios que nos indican el tipo de polinomio con el que estamos trabajando, ahora también se tiene el concepto de Grados de un polinomio. Para explicar esta definición una vez más nos vamos desde la comprensión de una expresión sencilla a una más compleja: Grado de Un Monomio: el grado de un monomio se obtiene sumando todos los valores de los exponentes que conforman el monomio, incluyendo los exponentes todos los valores literales si se presentan más de uno. Ejemplo N° 3. Cálculo del grado del siguiente Monomio: 8x2y3z. Se suman los valores de los exponentes de los términos literales X, Y, Z;2 + 3+ 1 = 4. Teniendo como resultado un monomio de grado 4. Nótese que el literal “Z” no tiene escrito ningún valor, siendo que para estos casos se sobre entiende que el valor en cuestión es igual a 1. Para determinar el grado de un polinomio debemos analizar y calcular el grado de cada uno de los monomios que lo conformar y el monomio de grado más alto nos indicara el grado del polinomio en general. Ejemplo N° 4. Cálculo del grado para el siguiente Trinomio: 6x + 4xy + 7x2y. Determinamos por separado el grado de cada monomio. El monomio 6x: el termino X posee valor exponente 1, es grado 1. El monomio 4xy: los términos X y Y se suman sus exponentes 1 + 1 resultando un monomio de grado 2. El monomio 7x2y: los términos X y Y poseen exponentes 2 + 1 resultando un monomio grado 3. Teniendo como resultado que el polinomio 6x + 4y + 7x2y es de grado 3.
4. Regla de Ruffini: La Regla de Ruffini nos permite resolver ecuaciones mayores de segundo grado para cuando estas expresiones tengan soluciones enteras, para soluciones complejas o reales este método no es factible. Entre los métodos para resolver ecuaciones tenemos: Método de Reducción; Método de sustitución; Método de Igualación. Para resolver ecuaciones de tercer grado se requiere previamente realizar una factorización en la que utilizaremos el Método de Ruffini. Paso 1: En la siguiente ecuación identificaremos los números (coeficientes) que van delante de cada incógnita. Ejemplo N° 4: X3 + 2×2 – x – 2 = 0; 1   + 2   –  1  –  2 = 0. Paso 2: Se trazan dos líneas dos líneas perpendiculares que serán el “formato” en donde desarrollaremos los procedimientos. Paso 3: Se colocan los coeficientes en función de su grado en orden descendiente. 1    2    – 1    – 2. Los coeficientes se colocaron en orden del grado que poseen x3 , x2, x, 0, si para el caso en no haber una correlación progresiva entre los grados, es decir por ejemplo la ausencia de X2 este valor con número 2, se sustituiría con el número 0. Paso 4: Con esta regla podemos factorizar polinomios en binomios de la forma (X – 1), (X + 1), en este caso iniciaremos colocando el número 1 en la línea horizontal que representaría al binomio (X – 1). Por cuestiones explicativas llamaremos a este valor 1, termino multiplicativo ya que lo usa usaremos en durante todo el procedimiento. Paso 5: Realizamos una operación de suma en la primera columna, luego multiplicamos el resultado de la suma de la primera columna por el termino multiplicativo (1) y el resultado se escribirá en la segunda columna. Paso 6: Se suma la segunda columna y repetimos el mismo procedimiento de multiplicar el termino multiplicativo con el resultado de la suma de la columna n° 2 y colocando el valor obtenido en la tercera columna. Repetimos este procedimiento hasta terminar con todas.
5. El objetivo es que al final en la última columna tengamos como resultado de la sumatoria el valor de 0. De no obtener dicho valor se debe cambiar el “termino multiplicativo” de 1 a – 1, para cumplir con la regla del binomio (x – 1) (x + 1), y así sucesivamente hasta llevar al valor final de 0 en la última columna. La Nueva ecuación resultante es la siguiente: X2 + 3x + 2. Que como siendo el resultado de la última columna un valor de 0 el término a su izquierda tendrá un grado cero y los grados aumentaran a la izquierda progresivamente. Paso 7: Debemos seguir factorizando sucesivamente con los valores 1, – 1, 2, – 2 hasta reducir la ecuación hasta la mínima recordando que cambiaremos de valor cuando el resultado final sea distinto a 0. En este caso probaremos directamente con el valor – 2, ya que probando nuevamente con los valores 1 y + 1 el resultado es distinto a 0. El producto de la última fila es el resultado de la factorización mediante el método de Ruffini. Donde: El término multiplicando “1” representa el binomio x – 1. El multiplicando “-2” representa el binomio x – (-2) = x + 2. El valor final 1 el binomio x + 1. La ecuación resultante es la siguiente: X3 + 2×2 – x – 2 = (x + 1) (x + 2) (x – 1).