Cómo resolver ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar su solución, es decir, hallar el valor de la incógnita. Para ello es necesario conocer las propiedades de las igualdades, a saber:

• Si se suma o se resta un número a ambos lados de la igualdad, ésta no se altera.
• Si se multiplica o divide un número a ambos lados de la igualdad, esta no se altera.

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al exponente de la variable. En este apartado, estudiaremos ecuaciones de primer grado con una incógnita; también, ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Para poder resolver las ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita es necesario tener en cuenta las propiedades. Tanto de la adición como de la multiplicación en los conjuntos , a saber: propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento opuesto, factor cero y la propiedad distributiva del producto respecto a la adición.

También es necesario conocer la definición de términos semejantes. Que son aquellos que tienen la misma variable elevada al mismo exponente; y las reglas de los signos para la adición y la multiplicación.

Por último, es necesario conocer el orden de las operaciones. Esto es (si no hay signos de agrupación, sea paréntesis, corchetes y/o llaves): primero se resuelven potencias, luego multiplicaciones y divisiones y luego sumas y restas.

Ejercicios resueltos

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita, son aquellas donde la variable tiene exponente 1 (el cual se sobreentiende).

Veamos algunos ejercicios:

X+2=5

1. Para resolver una ecuación es necesario despejar la x. Esto quiere decir “dejarla sola” en alguno de los miembros de la igualdad; por lo general se deja sola del lado izquierdo.
2. En este caso, para conseguirlo es necesario quitar el +2.
3. Para ello, es necesario restarle 2. Esto con el fin de que al sumar o restar resulte cero, recordando la propiedad del elemento neutro para la adición: todo número sumado con cero resulta el mismo número.
4. Así pues, al restarle 2 al primer miembro de la igualdad, que es donde se encuentra la variable, en este caso x, es necesario restarle también 2 al otro miembro de la igualdad para que ésta no se altere (recordando las propiedades de las desigualdades).

Veamos pues el procedimiento seguido para resolver esta ecuación:

Como notaste, la variable tiene un valor de 3. Para saber si ese resultado es correcto, es necesario comprobar la ecuación. Comprobar una ecuación no es más que verificar si su resultado es correcto o no. Para ello, se deben seguir los siguientes pasos:

• Se sustituye o cambia la letra por el resultado
• Se resuelven las operaciones a cada lado de la igualdad SIN ALTERAR NINGÚN TÉRMINO.
• Si en cada miembro de la igualdad se observa el mismo valor, entonces el resultado de la ecuación es correcto, de lo contrario, no lo es.

Veamos cómo comprobar este ejercicio:

Para resolver este ejercicio: 3+y=7, se procede de manera similar que con el ejercicio anterior, sin importar si la variable, en este caso, se encuentra al comienzo o no de la ecuación:

Comprobación:

En este caso, veamos que del lado de la variable o incógnita no sólo hay que eliminar el número que resta, en este caso el 2, sino también hay un número que multiplica.

Para ello, se puede proceder eliminando primero cualquiera de los dos números, y luego, el siguiente, atendiendo nuevamente a las propiedades de las igualdades.

Nota que cuando no hay ningún signo entre un número y la variable o incógnita, se sobreentiende que está multiplicando a la variable. Generalmente y para facilitar los cálculos, se elimina primero el número que esté sumando o restando, en este caso, restando, así:

Como puede observarse, aún no se ha despejado la variable z. Para conocer su valor, es necesario eliminar el 2 que la está multiplicando. Para ello, se divide a ambos lados por el número 2 para que la igualdad nos se altere, esto con el fin de que al dividir un número por el mismo da como resultado 1 y, aplicando la propiedad del elemento neutro para la multiplicación: todo número multiplicado por 1 da como resultado el mismo número, entonces:

Fíjate que en este caso el resultado es una fracción. Se puede dar el resultado en forma de fracción o de manera decimal. En este caso el número decimal resultado de esta fracción es 7,5. Ahora, usaremos fracciones como soluciones.

En este caso es necesario primero resolver la operación del lado derecho de la igualdad con el fin de simplificar operaciones, así:

w/5+1=31+5

w/5+1=36

Luego, se procede como el ejercicio anterior, con la diferencia de que, en este caso se deben multiplicar ambos miembros de la igualdad por 5 con la finalidad de que nos e altere la igualdad.

Comprobación:

Para resolver este ejercicio:  2x+4=3x+1, como se observa la variable aparece más de una vez, te recomendamos primero colocar en un solo miembro los términos que contienen a la variable, y en el otro miembro los términos que no contienen la variable, es decir, agrupar términos semejantes, así:

Ahora, procedamos a resolver las operaciones en ambos lados. Como 2x y 3x son términos semejantes se procede a operar normalmente, es decir, se resuelve la resta, atendiendo a la regla de los signos para la adición y se coloca la x, de esta forma:

2x-3x=1-4

-1x=-3

Luego, divide a ambos miembros de la igualdad por -1. Entonces, recordando las reglas de los signos para la multiplicación: