Regla de la Cadena – Todo lo que has de saber

Aplicando la regla de la cadena: guía paso a paso (+ guía de ejercicios)

Como no sabemos si eres un profe en busca de ejercicios o un alumno, hemos decidido incluir dos secciones en nuestra guía paso a paso. En la primera (A) encontrarás todo lo inherente a la resolución de ejemplos sobre la regla de la cadena mientras que en la segunda (B) hallarás una serie de ejercicios que pueden ser iniciales para tus estudiantes.

Aprendiendo a resolver una función compleja:

El procedimiento para aplicar la regla de la cadena no es muy complejo. Es decir, debes estar atento a todo lo que estás haciendo, pero, una vez hecho y repetido varias veces, resultará pan comido para ti.

Generalmente el proceso y los pasos que se suelen utilizar y el que corrientemente enseña la mayoría de los profesores a nivel internacional es el siguiente:

1. Este es el paso más difícil, pues de aquí parte toda la operación, identificar u = t (x). De hecho, comúnmente, el mayor error que cometen los alumnos es que no logran identificar u = t (x).
2. Como habíamos anticipado en la definición de la regla de la cadena, buscaremos encontrar la derivada de la función exterior. Esto traducido al lenguaje matemático es lo siguiente g (u).
3. Ya identificaste u = t (x) y obtuviste la derivada de g (u), llevas media operación hecha. Ahora deberás proceder a obtener la derivada de la función que en la agrupación quedó en el interior, ello llevado al lenguaje matemático se expresa de la siguiente manera t (x).
4. Luego, tendrás que realizar la multiplicación de las derivadas, es decir, obtener el producto de las mismas, llevado a la expresión matemática sería lo siguiente g ‘(u) t'(x).
5. Finalmente tienes que sustituir la u por la expresión t (x).
6. En la teoría suena muy simple ¿cierto? Esto te recordará al cole cuando la profesora o el profesor de matemáticas explicaba una operación y te parecía sencillo -como a todos- pero luego nadie sabía cómo hacerlo bien en el examen, a excepción de un pequeño grupo.

No te preocupes, con la regla de la cadena no te pasará lo mismo porque ahora haremos un ejercicio iniciativo:

1. Ejercicio #1: Supongamos que nos mandan a buscar la derivada de la siguiente función: f (x)= (x2 + 1)4. Veamos cómo resolverla usando la regla de la cadena siguiendo paso a paso lo explicado en el apartado teórico.
2. En primer lugar es necesario identificar u = t (x). En este caso sería u = t (x) = x2 + 1.
3. Ahora tenemos que proceder a buscar la derivada de la función exterior o, como te lo habíamos explicado más arriba, g (u). En este caso sería el siguiente: g (u) = u4, la derivada es g ‘(u) = 4u3.
4. Luego tendrás que obtener la derivada de la interior que es la siguiente: t'(x) = 2x.
5. Ahora…. Dejaremos que obtengas el producto de la siguiente operación g ‘(u) t'(x) y luego de ese resultado sustituir u por la expresión t (x).

Debes saber que estas son el tipo de funciones más sencillas dentro de este mundillo de las derivadas. La dificultad comienza a incrementarse según se vayan añadiendo diferentes operaciones o productos matemáticos.

Puedes usar la regla de la cadena para obtener funciones que contengan lo siguiente:

1. Fracciones: es sencillo pues no es necesario que se trastoque todo el proceso o debas hacer demás. De hecho, hay quien prefiere trabajar con fracciones al poder éstas ser llevadas a su mínima expresión.
2. Raíces: tampoco cambia mucho el proceso pero sí agrega una pequeña dificultad. Más que nada en los casos en los que te encuentras con más de una raíz en la función y no una única raíz que englobe a la función entera.
3. Vectores: hay quien les tiene miedo a los vectores y no son ciertamente los más sencillos de realizar. Con la regla de la cadena puedes obtener también derivadas de funciones con vectores, eso sí, tendrás que estar atento a los diferentes ejes.
4. Variables: puede ser de dos tipos:
5. Independiente: es solo un tipo de letra la que figura en la función (Ejemplo: x).
6. Dos independientes: es el caso en el que tienes más de una variable, es decir, hay más de una letra (Ejemplo: x e y).
7. Formas de expresión: hay una manera alternativa de escribir la regla de la cadena, es decir, todo lo que hemos hecho anteriormente y se denomina Notación de Leibniz. Sin embargo, es mejor que primero aprendas a resolver de esta manera las derivadas de funciones complejas y luego te introduzcas en términos más complejos.

La regla de la cadena puede ser llevada a términos más complejos como lo expuso un matemático italiano llamado Faà di Bruno, quien aplicó la misma a las denominadas como derivadas de orden superior. Si quieres saber más sobre esto, puedes entrar a la web que le dedica la enciclopedia libre.

Ejercicios para el alumnado:

Seas profesor como alumno necesitarás ejercicios para sacar adelante la regla de la cadena por lo que te dejamos aquí abajo 5 ejercicios para realizar en casa con tranquilidad o en clase:

• f (x) = 8/3 (x2 – 3)2
• f (x) = (5×2 – 1)4
• f (x) = (x3 – 4×2)3
• f (x) = (x3 – 3)
• f (x) = 15/5 (x3 – 4)2

¡Tienes ejercicios para rato! Así que no hay excusa…

Regla de la cadena: Consejos

Probablemente hayas llegado a este punto de la guía y tengas dos posturas muy contrapuestas, una primera optimista de que puedes lograrlo y otra segunda que es no tan positiva -más bien negativa- que te hace dudar sobre tus habilidades matemáticas.

Es fundamental que sepas que este es un conocimiento con el que no necesariamente debemos integrarnos rápidamente, es decir, puedes tratar de asimilarlo velozmente pero aun así ello no significa que seas un experto aplicando la regla de la cadena desde el primer día.