Teorema de Pitágoras – Definición, fórmula y ejemplos
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No puedes salir de marcha porque tienes que estudiar el Teorema de Pitágoras. ¡Qué mala suerte! En momentos como estos, sientes que las matemáticas aprestan. La cabeza te da vueltas de tanto pensar. Ya tus padres te lo avisaron. Tienes que entender todo sobre ese Teorema o te suspenderán la paga del mes. ¿Qué vas hacer? A estudiar, hay que aprobar el examen.
De lo único que estás seguro, es de que no sabes nada de ese teorema. ¿Qué pasó? Pues, que no prestaste atención alguna en clase y los libros no te están ayudando para nada. Y definitivamente, no puedes llevarte al profesor a tu casa. ¿Estudiar solo el teorema? ¡Ni hablar! Hay que buscar alguna solución.
¿Qué puedes hacer? Necesitas una explicación más sencilla para comprenderlo todo. A veces las explicaciones son tan complicadas que hacen muy difícil esta tarea. Mientras más te explican, más te cuesta entender. Y por lo tanto, menos te gusta el tema.
Para saber en qué consiste el Teorema de Pitágoras, lo mejor es tener idea clara de su utilidad. ¿Y para qué es útil el Teorema de Pitágoras? Sus aplicaciones son múltiples. Sino, pregúntale a ingenieros, arquitectos, topógrafos y hasta artistas.
El matemático E. S. Loomis se dedicó al estudio de las demostraciones del teorema a lo largo del tiempo. Y, en 1927, encontró hasta 350 demostraciones realizadas. Entre los que lo hicieron, tenemos a Euclides (matemático), a Platón (filósofo). Incluso el tan conocido artista e inventor Leonardo da Vinci (todo un polímata) prestó gran interés a hacer esas demostraciones. Si todos ellos le dedicaron su atención, es porque el teorema es muy útil. ¿No crees?
No tienes otra salida. Tienes que aprender todo lo que puedas sobre el Teorema de Pitágoras. Así que, a dejar de lado la pereza y a prestar atención. Aquí te explicaremos todo sobre este teorema. Conoceremos algo de Pitágoras. Te explicaremos por qué el teorema recibe su nombre. Luego, estudiaremos su fórmula. Te presentaremos algunos de sus usos cotidianos. Por supuesto, realizaremos ejercicios que te aclaren el oscuro panorama. Y entre punto y punto, tenemos que referirnos a los triángulos, que son la columna vertebral del teorema. ¡Hala! Vamos a estudiar.
Instrucciones
Si quieres comprender el Teorema de Pitágoras, debes tener claros algunos datos y términos:
- Seguro que te preguntas qué es un teorema. Un teorema es una proposición que puedes demostrar mediante la aplicación de axiomas o de otros teoremas. Los axiomas también son proposiciones.
- ¿Por qué se llama Teorema de Pitágoras? Porque fue un filósofo griego, que además era matemático, llamado Pitágoras de Samos, quien lo comprobó en el siglo VI a.C. Dejemos esto claro, no lo creó. Sin embargo, tanto él como la escuela pitagórica recibieron el mérito de ser los primeros en demostrarlo formalmente.
- Entonces, ¿quién lo creó? Algunos dicen que fue en la India y en Babilonia; otros, en Egipto y en Mesopotamia. No puede darse la autoría con certeza a ninguna cultura en especial.
- Y ¿qué es? El Teorema de Pitágoras es una verdad (por tanto, demostrable), que es útil solo con triángulos rectángulos. Así que no intentes usarlo con otros tipos de triángulos.
- Un triángulo es, como ya sabes, una forma geométrica que se caracteriza por presentar tres lados; y por supuesto, tres ángulos. Hay variados tipos de triángulos, cada uno con su nombre.
- Un triángulo rectángulo, que es el que aquí nos interesa, tiene la propiedad de poseer un ángulo de 90°. Este ángulo recibe el nombre de “recto”. Y, claro, por eso se llama triángulo rectángulo.
- En este tipo de triángulos, el lado más largo se llama “hipotenusa”. Los lados que al encontrarse forman el ángulo de 90°, son llamados “catetos”. Resumiendo, dos catetos y una hipotenusa.
- ¿Para qué te sirve el Teorema de Pitágoras? Te permitirá saber el cuadrado de la hipotenusa. ¿Cómo? Pues sumando los cuadrados de cada uno de los cuadrados de sus catetos. Parece algo simple, pero este teorema constituyó un importante avance para las matemáticas.
- ¡Concretemos! La fórmula del Teorema de Pitágoras es a2 + b2= h2. Tanto a como b, son los catetos; y h, la hipotenusa.
- Con esta fórmula, si conocemos dos datos, tendremos el desconocido. Por ejemplo, si desconocemos el cuadrado del primer cateto, usamos la fórmula así h2– b2= a2. Para el segundo cateto, también le restamos el primero a la hipotenusa. ¡Fácil!
- Detengámonos un poco. ¿Cómo determinas el cuadrado de un número? Multiplicándolo por sí mismo. Si tenemos 22, debemos multiplicar 2×2, lo que nos dará como resultado 4. ¿Te recuerdan de alguna forma a las raíces cuadradas? Es el proceso inverso. Por eso debes saber encontrar la raíz cuadrada de un número.
- Seguro que te preguntas qué utilidad tiene el Teorema de Pitágoras. Aunque no lo creas, tiene muchas aplicaciones. Nos permite conocer medidas, tan necesarias en diversas áreas del saber. Es imprescindible para el trabajo de ingenieros y arquitectos. Y ni hablar de los artistas. Galileo Galilei, tampoco se quedó atrás; con él midió la altura de montañas. Como ves, tiene múltiples aplicaciones.
- El Teorema te permite calcular distancias, la altura de un edificio o la longitud de la escalera que deseas construir. Lo que siempre debes tener en cuenta, es que en todos debe intervenir un triángulo rectángulo. ¿En el caso de la altura del edificio también? Pues, sí. Para ello, debes considerar la medida de la sombra que este proyecta. Después, medir la distancia que hay entre el punto más alto de dicho edificio, hasta el extremo de esa sombra.
- A lo largo de la historia, las demostraciones del Teorema de Pitágoras, nos han proporcionado lo que se conoce como “ternas pitagóricas”. Cada una de ellas está formada por tres números naturales. Estos son las longitudes de cada uno de los lados de un triángulo rectángulo; por lo tanto cumplen con este teorema. Es algo así, como trabajar sobre seguro. ¿Por qué? ¡Simple! Ya se ha demostrado, por lo tanto se conoce el resultado.
- Un ejemplo de una terna pitagórica es 3, 4, 5. Si aplicamos la formula tenemos: 32 + 42 = 52. Fíjate, las ternas están formadas por números enteros.
- Por último, lo mejor para aprender a utilizar la fórmula, es tener ejercicios como ejemplos. Recuerda que la práctica hace al maestro.
| Ejercicio 1
Si los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 15 cms. cada uno, encuentra la longitud de su hipotenusa.
Usemos la fórmula: 82 + 152 = h2 Recuerda que debes multiplicar cada uno por sí mismo, así que tenemos: 64 + 225 = 289 Ahora, como debemos volver a la fórmula, debemos encontrar la raíz cuadrada de 289. Por lo tanto, será un número que multiplicado por sí mismo, nos dé como resultado esa cifra: h = √289 h2 = 172 Volvamos al Teorema de Pitágoras: 82 + 152 = 172 |
- ¿Otro ejercicio?
| Ejercicio 2
Imagina que necesitas hacer una rampa en la entrada posterior de tu tienda. La altura es de 5 metros y debe tener de largo 12 metros. Necesitas saber cuál será el área que en la que construirás la elevación que necesitas: Tenemos: 52 + 122 = h2 Es decir: 25 + 144 = 169 Ahora, hallemos la raíz cuadrada: h = √169 h2 = 132 Resultado: El área que se rellenará para construir la rampa es de 13 m2. ¿Para qué te sirva esta información? En este caso para calcular la cantidad de material con la que construir dicha rampa. |
Que Necesitas
- La fórmula del Teorema de Pitágoras. Esperamos que para estos momentos, ya esté lo suficientemente clara para ti. Sino, vuelve a leer.
- Una calculadora, aunque sea la de tu ordenador. La de tu móvil también podría ser útil.
- Las tablas de multiplicar, para practicarlas, solo por si acaso.
- Información sobre las ternas pitagóricas. Serían muy útiles a la hora de estudiar.
Consejos
- Si no te permitirán usar tu calculadora en el examen, practica tu destreza para multiplicar.
- Estudia con tus compañeros. El aprendizaje en equipo es muy útil. Permite el intercambio de ideas.
- Sin embargo, recuerda que estarás solo al realizar los ejercicios del examen. No dependas de otros para realizar con éxito los ejercicios.
- Siempre es bueno preguntar a tus padres que saben sobre el tema. Te sorprenderás de lo que puedes aprender de ellos.
- No te olvides de lo que has estudiado hasta ahora, especialmente lo concerniente a la raíz cuadrada.
- Practica y practica para ser un maestro en el Teorema de Pitágoras. Realiza todos los ejercicios que te hayan asignado para estudiar, así como los que hayan resuelto en clase.
- Aunque te lleves tu amuleto para la suerte, confía más en lo que has aprendido y practicado.
- La noche antes del examen, descansa y relájate. Despejar la mente, ayuda a concentrarse mejor al día siguiente.
- No dejes que los nervios te venzan. Responde el examen con calma y mucho cuidado. Un número equivocado, y el ejercicio no tendrá el resultado que debe.
Luego del examen, descansa y disfruta de un merecido descanso.
